数量关系涵盖的题型很广泛，是同学们比较头疼的部分。考试时很有可能出现花了时间，却还不能得出正确答案的情况。所以这部分一定要有选择性地作答，同学们可以选取难度较低或者比较常见的一类题型，这样才能在较短时间能尽可能多拿分。今天就让我们来了解下容斥问题。

容斥问题是一种计数问题，用于解决多个集合之间有重叠时的计数问题。一般涉及两者容斥和三者容斥以及容斥极值问题。在作答时可以采用画文氏图或者结合基础公式的方法。

一、两者容斥：

注：I：全集 都不：既没有A又没有B

I=A∪B+都不

=A+B-A∩B+都不

二、三者容斥：

注：I：全集 都不：既没有A又没有B又没有C

I=A∪B∪C+都不

=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不

=A+B+C-只属于两个集合的元素-2×属于三个集合的元素+都不

=只属于一个集合的元素+属于两个集合的元素+属于三个集合的元素+都不

三、容斥极值：

两者容斥极值：(A∩B)min = A+B-I

三者容斥极值：(A∩B∩C)min = A+B+C-2I

以此类推……

【例1】某单位 65 名职工中，拥有甲、乙、丙三项认证中至少一项的职工正好占 80%，没有甲认证的职工与有乙认证的职工人数一样多，仅有丙认证的职工有 3 人，三项认证都有的职工有 6 人，问有多少人仅拥有甲、乙两项认证?

A.10 B.13 C.16 D.19

【答案】A。

【解析】

根据题干信息，可梳理上述文氏图。设仅有甲、乙的人数为x，仅有乙、丙的人数为y，仅有乙的人数为z。三项认证中至少一项的职工正好占 80%，即65·80%=52，一项都没有的为65·20%=13。根据“没有甲认证的职工与有乙认证的职工人数一样多”建立等量关系。没有甲的人为y+z+3+13，有乙的人为x+y+z+6。y+z+3+13=x+y+z+6，解得x=10。即仅有甲、乙的人数为10。故正确答案为A。

【例2】某单位共有 240名员工,其中订阅A期刊的有125人,订阅B期刊的有126人,订阅 C期刊的有 135 人,订阅 A、B期刊的有 57 人,订阅 A、C期刊的有 73 人，订阅3种期刊的有 31人,此外,还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问:订阅BC 期刊的有多少人?

A.57 B.64 C.69 D.78

【答案】A。

【解析】根据题干信息，可确定考查三者容斥。题干分别给到I：240，A：125，B：126, C：135 ，A∩B：57 ，A∩C：73 人，A∩B∩C：31，都不：17人。求B∩C。可利用公式“I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不”求解。代入240=125+126+135-57-73-B∩C+31+17，解得B∩C=64。故正确答案为B。

容斥问题是比较简单的一类题型，绝大部分容斥问题可以采用上述两种方法求解。如果给出的信息较为复杂或者不太常见，在作答时可根据题干给出的条件，可结合文氏图与方程法，灵活作答。

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